[3D수학] 벡터의 내적

벡터의 덧셈과 뺄셈을 정리 했으니 이제 슬슬 곱셈에 대한 개념이 나올때가 된것 같습니다.

벡터의 곱셈의 개념으로 벡터의 내적과 외적이 있습니다.

일단 이번 포스팅에는 내적을 다루겠지만 두가지 개념의 차이점만 짚고 넘어 가자면,

외적 ---> 결과값이 벡터

내적 ---> 결과값이 스칼라값. ( 실수 )

표현을 해줄때는 내적은 . (점) 표시

                      외적은 X 표시

입니다.

내적( dot product, inner product )에 대한 정의는 다음과 같습니다.

위에 그림에서 

로 정의하고   로 정의를 하겠습니다.  세타의 값은 일 때  내적의 정의는 다음과 같습니다.

벡터의 내적의 특징은 다음과 같습니다.

1번식은 딱히 설명 드릴께 없을 것 같습니다.

2번식은 동일 한 벡터가 있을 경우에는 두 벡터가 이루는 각은 0도이므로 cos0 = 1 입니다. ( 이부분은 나중에 삼각함수때 또 정리를 하도록 하겠습니다. ) 그러므로 벡터a의 절대값 ( 길이 )의 제곱이 되는것을 알 수 있습니다.

다음으로 두 벡터의 내적이 가지는 기하학적인 의미 를 얘기해보겠습니다. 머 기하학이라고 해서 어려운 얘기는 아닙니다.

  

다음과 같은 교환이 성립되는 이유는 a벡터의 크기는 실수, b벡터의 크기도 실수, cos 값도 실수기 때문에 교환 법칙이 성립됩니다.

a벡터의 크기 즉 벡터의 길이 X cos 값은 점A에서 수선의 발을 내린점이 H라고 했을때 즉 선분 OH의 길이가 됩니다.

그리고 벡터b의 값은 그림에서 보시는 바와 같이 선분 OB의 길이가 됩니다. 

따라서 선분 OB의 길이와 선분 OH의 곱은 a벡터와 b벡터의 내적과 같다라는 도출이 됩니다.

노란색의 빛이 비추었을 경우에 벡터a의 그림자 OH와 벡터의 길이의 곱이 됩니다.

정리하자면 두 벡터의 내적이 가지는 기하학적 의미는 한 벡터를 다른 벡터위로 정사영 시킨 길이와 그 다른 벡터의 길이의 곱셈이다.

위의 그림에서는 선분 OH와 선분 OB의 길이의 곱이 됩니다.

개념적인 부분은 이쯤에서 마무리 하고 다음 포스팅에서 벡터의 내적을 어떻게 게임에 활용하여 사용하는지 

확인 해보도록 하겠습니다.